§ 9. Непрерывные случайные величины

Пусть { W , Á , Р } - вероятностное пространство. Случайная величина x (w ) называется абсолютно непрерывной случайной величиной, если существует неотрицательная функция fx (х) такая, что при любом хÎ R

F_x(х) = Р{w :x(w ) < х} =, (9.1)

fx (х) называется плотностью распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины x .

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

1. fx (x) ³ 0, хÎ R;

2. = 1 - условие нормировки;

3. - в точках непрерывности fx (х);

4. P( a £ x < b) = = F_x (b) - F_x (a) , для любых a < b; a,b Î R.

З а м е ч а н и е. Функция распределения непрерывной случайной величины x является непрерывно монотонно неубывающей функцией на всей числовой оси. Причем ,

значит, вероятность того, что x примет данное конкретное значение х, равна нулю.

Пример 9.1. Дана функция

а) При каком значении а функция f(x) является плотностью распре- деления случайной величины x ?

б) Выписать Fx (x) и построить графики Fx (x) и fx (х).

в) Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (-1;¹/₂).

Р е ш е н и е.

а) Используя условие нормировки (2), имеем:

= + а+==1, отсюда а = 3.

Итак, при а = 3 функция f(x) является плотностью распределения неко-торой случайной величины x :

Ее график имеет вид:

Рис. 9.1

б) Определим Fx (x), используя (9.1)

график функции распределения Fx (x) имеет вид:

Рис. 9.2

в) Найдем

P( -1 < x < 1/2) = = Fx (1/2) - Fx (-1) = 1/8,

действительно,

= + 3==¹/₈. u

В оглавление